1.4.4. Оценка денежных потоков с неравными поступлениями

Управление денежными средствами предприятия

1.4.4. Оценка денежных потоков с неравными поступлениями

4. Расчет верхней границы денежных средств и точки возврата:

Ов = 10000+18900 = 29900дол.;

ТВ = 10000+1/3*18900 = 16300дол.

Таким образом, остаток средств на расчетном счете должен варьировать в интервале (10000, 18900); при выходе за пределы интервала необходимо восстановить средства на расчетном счете в размере 16300 дол.

Глава iii. совершенствование управления денежными средствами предприятий

Совершенствование управления денежными средствами предприятий заключается в правильном анализе денежных поступлений и определении их типа. От того насколько верна произведена оценка денежного потока зависит успешность финансового решения.

Одним из основных элементов такого финансового анализа является оценка денежного потока С1, С2,…, Сn, генерируемого в течение ряда временных периодов в результате реализации какого-либо проекта или функционирования того или иного вида активов.

Элементы потока С1 , могут быть либо независимыми, либо связанными между собой определенным алгоритмом. Временные периоды чаше всего предполагаются равными. Кроме того, для простоты изложения материала предполагается, что элементы денежного потока

являются однонаправленными, т.е. нет чередования оттоков я притоков денежных средств. Также считается, что генерируемые в рамках одного временного периода поступления имеют место либо в его начале, либо в его конце, т.е. они не распределены внутри периода, а

сконцентрированы на одной из его границ. В первом случае поток называется потоком

пренумерандо, или авансовым, во втором — потоком постнумерандо (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Виды денежных потоков

На практике большее распространение получил поток постнумерандо, в частности, именно этот поток лежит в основе методик анализа инвестиционных проектов.

Некоторые объяснения этому можно дать исходя из общих принципов учета, согласно которым принято подводить итоги и оценивать финансовый результат того или иного действия по окончания очередного отчетного периода.

Что касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике око чаще всего распределено во времени неравномерно и потому удобнее условно отнести все поступления к концу периода.

Благодаря этому соглашению формируются равные временные периоды, что позволяет разработать удобные формализованные алгоритмы оценки. Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач: а) прямой, т.е. проводится оценка с позиции будущего (реализуется схема наращения); б) обратной, т.е. проводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования).

Прямая задача предполагает суммарную оценку наращенного денежного потока, т.е. в ее основе лежит будущая стоимость.

Обратная задача предполагает суммарную оценку дисконтированного (приведенного) денежного потока.

Поскольку отдельные элементы денежного потока генерируются в различные временные интервалы, а деньги имеют временную ценность, непосредственное их суммирование невозможно.

Основным результатом расчета является определение общей величины приведенного денежного потока. Используемые при этом расчетные формулы различны в зависимости от вида потока — постнумерандо или пренумерандо.

Необходимо отметить, что ключевым моментом в рассмотренных схемах является молчаливая предпосылка о том, что анализ ведется с позиции «разумного инвестора», т.е.

инвестора, не накапливающего полученные денежные средства в сундуке, подобно небезызвестному Плюшкину, а немедленно инвестирующего их с целью получения дополнительного дохода. Именно этим объясняется тот факт, что при оценке потоков в обоих случаях, т.е.

и при наращении, и при дисконтировании, предполагается капитализация по схеме сложных процентов.

3.1. ОЦЕНКА ДЕНЕЖНОГО ПОТОКА С НЕРАВНЫМИ ПОСТУПЛЕНИЯМИ

         Ситуация, когда денежные поступления по годам варьируют, является наиболее распространенной. Общая постановка задачи в этом случае такова.

Пусть С1, С2,….Сn — денежный поток; r — коэффициент дисконтирования. Поток, все элементы которого с помощью дисконтирующих множителей приведены к одному моменту времени, а именно — к настоящему моменту, называется приведенным. Требуется найти стоимость данного денежного потока с позиции будущего и с позиции настоящего.

                           3.2. ОЦЕНКА ПОТОКА ПОСТНУМЕРАНДО

Прямая задача предполагает оценку с позиции будущего, т.е. на конец периода и, когда реализуется схема наращения.

Таким образом, будущая стоимость исходного денежного потока постнумерандо может быть оценена как сумма наращенных поступлений, т.е. в общем виде формула имеет вид:

Обратная задача подразумевает оценку с позиции текущего момента, т.е. на конец периода О. В этом случае реализуется схема дисконтирования, а расчеты необходимо вести по приведенному потоку.

Элементы приведенного денежного потока уже можно суммировать; их сумма характеризует приведенную, или текущую, стоимость денежного потока, которую при необходимости можно сравнивать с величиной первоначальной инвестиции.

Таким образом, приведенный денежный поток для исходного потока постнумерандо имеет вид:

Приведенная стоимость денежного потока постнумерандо в общем случае может быть рассчитана по формуле:

Если использовать дисконтирующий множитель, то эту формулу можно переписать в следующем виде:

Пример

Рассчитать приведенную стоимость денежного потока постнумерандо (тыс. руб.): 12, 15, 9, 25, если коэффициент дисконтирования r = 12%.

ГодДенежный потокRПриведенный поток
1120,892910,71
2150,797211,96
390,71186,41
4250,635515,89
6144,97

3.3. ОЦЕНКА ПОТОКА ПРЕНУМЕРАНДО

Логика оценки денежного потока в этом случае аналогии вышеописанной; некоторое расхождение в вычислительных формулах объясняется сдвигом элементов потока к началу соответствующих подынтервалов. Для прямой задачи приведенная стоимость потока пренумерандо в общем виде может быть рассчитана по формуле:

Приведенный денежный поток пренумерандо имеет вид:

Приведенная стоимость потока пренумерандо в общем виде может быть рассчитана по формуле:

Так, если в предыдущей задаче предположить, что исходный поток представляет собой поток пренумерандо, его приведенная стоимость будет равна: Pvpre = PVpst*(1+r)=44,97*1,12=50,37 тыс. руб.

3.4. ОЦЕНКА АННУИТЕТОВ

Одним из ключевых понятий в финансовых и коммерческой расчетах является понятие аннуитета. Логика, заложенная в схему аннуитетных платежей, широко используется при оценке долговых и долевых ценных бумаг, в анализе инвестиционных проектов, а также в анализе аренды.

3.5. ОЦЕНКА СРОЧНЫХ АННУИТЕТОВ

Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока, а именно, это поток, в котором денежные поступления в каждом периоде одинаковы по величине. Если число равных временных интервалов ограничено, аннуитет называется срочным. В этом случаи:

С1 = С2 = …… = Сn = A

Примером срочного аннуитета постнумерандо могут служить регулярно поступающие рентные платежи за пользование сданным в аренду земельным участком в случае, если договором предусматривается регулярная оплата аренды по истечении очередного периода. В качестве срочного аннуитета пренумерандо выступает, например, схема периодических денежных вкладов на банковский счет в начале каждого месяца с целью накопления достаточной суммы для крупной покупки.

Для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета можно пользоваться рассмотренными вычислительными формулами, вместе с тем благодаря специфике аннуитетов в отношении равенства денежных поступлений эти формулы могут быть существенно упрощены.

Прямая задача оценки срочного аннуитета при заданных величинах регулярного поступления (А) и процентной ставке (r) предполагает оценку будущей стоимости аннуитета. Как следует из логики, присущей схеме аннуитета, наращенный денежный поток имеет вид:

а расчетная формула трансформируется следующим образом:

Входящий в формулу мультиплицирующий множитель FMЗ(r,n) представляет собой сумму членов геометрической прогрессии:

где (q = 1 -r). Сделав преобразования можно найти, что:

Экономический смысл мультиплицирующего множителя FМ заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия.

Предполагается, что производится лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета.

Множитель FM часто используется в финансовых вычислениях, и поскольку легко заметить, что значения в общем виде зависят лишь от r и n, их можно табулировать.

Пример

Вам предлагают сдать в аренду участок на три года и выбрать один из двух вариантов оплаты аренды: а) 10 млн.руб. в конце каждого года; б) 35 млн.руб. в конце трехлетнего периода. Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 20% годовых по вкладам?

Первый вариант оплаты как раз и представляет собой аннуитет постнумерандо при n = 3 и А = 10 млн. руб. В этом случаи имеется возможность ежегодного получения арендного платежа и инвестирования полученных сумм как минимум на условною 20% годовых (например, вложение в банк). К концу трехлетнего периода накопленная сумма может быть рассчитана:

FV = А*FМЗ(20%, 3) = 10*3,640 = 36,4 млн. руб.

Таким образом, расчет показывает, что вариант (а) более выгоден.

Общая постановка обратной задачи оценки срочного аннуитета постнумерандо также достаточно наглядна. В этом случае производится оценка будущих денежных поступлений с позиции текущего момента, под которым в данном случае понимается момент времени, с которого начинают отсчитываться равные временные интервалы, входящие в аннуитет.

Экономический смысл расчетов по предыдущей задаче состоит в следующем: с позиции текущего момента реальная стоимость данного аннуитета может быть оценена в 21,064 млн. руб.

Общая формула для оценки текущей стоимости срочного аннуитета постнумерандо выводится из базовой формулы и имеет вид:

тогда,

Экономический смысл дисконтирующего множителя FM4(r,n) заключается в следующем: он показывает, чему равна с позиции текущего момента величина аннуитета с регулярными денежными поступлениями в размере одной денежной единицы (например, один рубль), продолжающегося n равных периодов с заданной процентной ставкой r.

Пример

Предложено инвестировать 100 млн.руб. на срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 20 млн. руб.). По истечении 5 лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 30 млн. руб. Принимать ли это предложение, если можно «безопасно» депонировать деньги в банк из расчета 12% годовых?

Для принятия решения необходимо рассчитать и сравнить две суммы. При депонировании денег в банк к концу пятилетнего периода на счете будет сумма:

В отношении альтернативного варианта, предусматривающего возмещение вложенной суммы частями, предполагается, что ежегодные поступления в размере 20 млн. руб. можно немедленно пускать в оборот, получая дополнительные доходы. Если нет других альтернатив по эффективному использованию этих сумм, их можно депонировать в банк. Денежный поток в этом случае можно представить двояко:

а) как срочный аннуитет постнумерандо с А = 20, n = 5, r = 20% и единовременное получение суммы в 30 млн. руб.;

б) как срочный аннуитет пренумерандо с А = 20, n = 4, r = 20% и единовременное получение сумм в 20 и 30 млн. руб. В первом случае имеем:

Во втором случае на основании формулы имеем:

Естественно, что оба варианта привели к одинаковому ответу. Таким образом, общая сумма капитала к концу пятилетнего периода будет складываться из доходов от депонирования денег в банке (107,06 млн. руб.

), возврата доли от участия в венчурном проекте за последний год (20 млн. руб.) и единовременного вознаграждения (30 млн. руб.). Общая сумма составит, следовательно, 157,06 млн. руб.

Предложение экономически нецелесообразно.

3.6. МЕТОД ДЕПОЗИТНОЙ КНИЖКИ

Можно дать иную интерпретацию расчета текущей стоимости аннуитета с помощью метода «депозитной книжки», логика которого такова. Сумма, положенная на депозит, приносит доход в виде процентов; при снятии с депозита некоторой суммы базовая величина, с которой начисляются проценты, уменьшается. Как Раз эта ситуация и имеет место в случае с аннуитетом.

Текущая стоимость аннуитета — это величина депозита с общей суммой причитающихся процентов, ежегодно уменьшающаяся на равные суммы. Эта сумма годового платежа включает в себя начисленные за очередной период проценты, а также некоторую часть основной суммы долга. Таким образом, погашение исходного долга осуществляется постепенно в течение всего срока действия аннуитета.

Структура годового платежа постоянно меняется —

Источник: https://student.zoomru.ru/finmen/upravlenie-denezhnymi-sredstvami-predpriyatiya/255258.2174627.s4.html

Способы оценки денежных потоков

1.4.4. Оценка денежных потоков с неравными поступлениями

Финансы Учет и управление денежными средствами
< Предыдущая СОДЕРЖАНИЕ Следующая >

Перейти к загрузке файла

Оценка денежного потока с неравными поступлениямиСитуация, когда денежные поступления по годам варьируют, является наиболее распространенной. Общая постановка задачи в этом случае такова.Пусть С1, С2,….Сn — денежный поток; r — коэффициент дисконтирования. Поток, все элементы которого с помощью дисконтирующих множителей приведены к одному моменту времени, а именно — к настоящему моменту, называется приведенным. Требуется найти стоимость данного денежного потока с позиции будущего и с позиции настоящего.Оценка потока постнумерандоПрямая задача предполагает оценку с позиции будущего, т.е. на конец периода и, когда реализуется схема наращения.Таким образом, будущая стоимость исходного денежного потока постнумерандо может быть оценена как сумма наращенных поступлений, т.е. в общем виде формула имеет вид:Обратная задача подразумевает оценку с позиции текущего момента, т.е. на конец периода О. В этом случае реализуется схема дисконтирования, а расчеты необходимо вести по приведенному потоку. Элементы приведенного денежного потока уже можно суммировать; их сумма характеризует приведенную, или текущую, стоимость денежного потока, которую при необходимости можно сравнивать с величиной первоначальной инвестиции.Таким образом, приведенный денежный поток для исходного потока постнумерандо имеет вид:Приведенная стоимость денежного потока постнумерандо в общем случае может быть рассчитана по формуле:Если использовать дисконтирующий множитель, то эту формулу можно переписать в следующем виде:

Пример

Рассчитать приведенную стоимость денежного потока постнумерандо (тыс. руб.): 12, 15, 9, 25, если коэффициент дисконтирования r = 12%.

ГодДенежный потокRПривед-й поток
1120,892910,71
2150,797211,96
390,71186,41
4250,635515,89
6144,97

Оценка потока пренумерандо

Логика оценки денежного потока в этом случае аналогии вышеописанной; некоторое расхождение в вычислительных формулах объясняется сдвигом элементов потока к началу соответствующих подынтервалов. Для прямой задачи приведенная стоимость потока пренумерандо в общем виде может быть рассчитана по формуле:

Приведенный денежный поток пренумерандо имеет вид:

Приведенная стоимость потока пренумерандо в общем виде может быть рассчитана по формуле:

Так, если в предыдущей задаче предположить, что исходный поток представляет собой поток пренумерандо, его приведенная стоимость будет равна: Pvpre = PVpst*(1+r)=44,97*1,12=50,37 тыс. руб.

Оценка аннуитетов

Одним из ключевых понятий в финансовых и коммерческой расчетах является понятие аннуитета. Логика, заложенная в схему аннуитетных платежей, широко используется при оценке долговых и долевых ценных бумаг, в анализе инвестиционных проектов, а также в анализе аренды.

Оценка срочных аннуитетов

Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока, а именно, это поток, в котором денежные поступления в каждом периоде одинаковы по величине. Если число равных временных интервалов ограничено, аннуитет называется срочным. В этом случаи:

С1 = С2 = …… = Сn = A

Примером срочного аннуитета постнумерандо могут служить регулярно поступающие рентные платежи за пользование сданным в аренду земельным участком в случае, если договором предусматривается регулярная оплата аренды по истечении очередного периода. В качестве срочного аннуитета пренумерандо выступает, например, схема периодических денежных вкладов на банковский счет в начале каждого месяца с целью накопления достаточной суммы для крупной покупки.

Для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета можно пользоваться рассмотренными вычислительными формулами, вместе с тем благодаря специфике аннуитетов в отношении равенства денежных поступлений эти формулы могут быть существенно упрощены.

Прямая задача оценки срочного аннуитета при заданных величинах регулярного поступления (А) и процентной ставке (r) предполагает оценку будущей стоимости аннуитета. Как следует из логики, присущей схеме аннуитета, наращенный денежный поток имеет вид:

а расчетная формула трансформируется следующим образом:

Входящий в формулу мультиплицирующий множитель FMЗ(r,n) представляет собой сумму членов геометрической прогрессии:

где (q = 1 -r). Сделав преобразования можно найти, что:

Экономический смысл мультиплицирующего множителя FМ заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия.

Предполагается, что производится лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета.

Множитель FM часто используется в финансовых вычислениях, и поскольку легко заметить, что значения в общем виде зависят лишь от r и n, их можно табулировать.

Пример

Вам предлагают сдать в аренду участок на три года и выбрать один из двух вариантов оплаты аренды: а) 10 млн.руб. в конце каждого года; б) 35 млн.руб. в конце трехлетнего периода. Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 20% годовых по вкладам?

Первый вариант оплаты как раз и представляет собой аннуитет постнумерандо при n = 3 и А = 10 млн. руб. В этом случаи имеется возможность ежегодного получения арендного платежа и инвестирования полученных сумм как минимум на условною 20% годовых (например, вложение в банк). К концу трехлетнего периода накопленная сумма может быть рассчитана:

FV = А*FМЗ(20%, 3) = 10*3,640 = 36,4 млн. руб.

Таким образом, расчет показывает, что вариант (а) более выгоден.

Общая постановка обратной задачи оценки срочного аннуитета постнумерандо также достаточно наглядна. В этом случае производится оценка будущих денежных поступлений с позиции текущего момента, под которым в данном случае понимается момент времени, с которого начинают отсчитываться равные временные интервалы, входящие в аннуитет.

Экономический смысл расчетов по предыдущей задаче состоит в следующем: с позиции текущего момента реальная стоимость данного аннуитета может быть оценена в 21,064 млн. руб.

Общая формула для оценки текущей стоимости срочного аннуитета постнумерандо выводится из базовой формулы и имеет вид:

тогда,

Экономический смысл дисконтирующего множителя FM4(r,n) заключается в следующем: он показывает, чему равна с позиции текущего момента величина аннуитета с регулярными денежными поступлениями в размере одной денежной единицы (например, один рубль), продолжающегося n равных периодов с заданной процентной ставкой r.

Пример

Предложено инвестировать 100 млн.руб. на срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 20 млн. руб.). По истечении 5 лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 30 млн. руб. Принимать ли это предложение, если можно «безопасно» депонировать деньги в банк из расчета 12% годовых?

Для принятия решения необходимо рассчитать и сравнить две суммы. При депонировании денег в банк к концу пятилетнего периода на счете будет сумма:

В отношении альтернативного варианта, предусматривающего возмещение вложенной суммы частями, предполагается, что ежегодные поступления в размере 20 млн. руб. можно немедленно пускать в оборот, получая дополнительные доходы. Если нет других альтернатив по эффективному использованию этих сумм, их можно депонировать в банк. Денежный поток в этом случае можно представить двояко:

  • а) как срочный аннуитет постнумерандо с А = 20, n = 5, r = 20% и единовременное получение суммы в 30 млн. руб.;
  • б) как срочный аннуитет пренумерандо с А = 20, n = 4, r = 20% и единовременное получение сумм в 20 и 30 млн. руб. В первом случае имеем:

Во втором случае на основании формулы имеем:

Естественно, что оба варианта привели к одинаковому ответу. Таким образом, общая сумма капитала к концу пятилетнего периода будет складываться из доходов от депонирования денег в банке (107,06 млн. руб.

), возврата доли от участия в венчурном проекте за последний год (20 млн. руб.) и единовременного вознаграждения (30 млн. руб.). Общая сумма составит, следовательно, 157,06 млн. руб.

Предложение экономически нецелесообразно.

Метод депозитной книжки

Можно дать иную интерпретацию расчета текущей стоимости аннуитета с помощью метода «депозитной книжки», логика которого такова. Сумма, положенная на депозит, приносит доход в виде процентов; при снятии с депозита некоторой суммы базовая величина, с которой начисляются проценты, уменьшается.

Как Раз эта ситуация и имеет место в случае с аннуитетом. Текущая стоимость аннуитета — это величина депозита с общей суммой причитающихся процентов, ежегодно уменьшающаяся на равные суммы. Эта сумма годового платежа включает в себя начисленные за очередной период проценты, а также некоторую часть основной суммы долга.

Таким образом, погашение исходного долга осуществляется постепенно в течение всего срока действия аннуитета.

Структура годового платежа постоянно меняется — начальные периоды в нем преобладают начисленные за очередной период проценты; с течением времени доля процентных платежей постоянно уменьшается и повышается доля погашаемой части основного долга. Логику и счетные процедуры метода рассмотрим на простейшем примере.

Пример

В банке получена ссуда на пять лет в сумме 20000 дол, под 13% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Требуется определить величину годового платежа.

Для лучшего понимания логики метода депозитной книжка целесообразно рассуждать с позиции кредитора. Для банка данный контракт представляет собой инвестицию в размере 20000 дол., т.е. отток денежных средств, что и показано на схеме.

В дальнейшем в течение пяти лет банк будет ежегодно получать в конце года сумму А, причем каждый годовой платеж будет включать проценты за истекший год и часть основной суммы долга. Так, поскольку в течение первого года заемщик пользовался ссудой в размере 20000 дол.

, то платеж, который будет сделав в конце этого года, состоит из двух частей: процентов за год в сумме 2600 дол. (13% от 20000) и погашаемой части долга в сумме (А — 2600 дол).

В следующем году расчет будет повторен при условии, что размер кредита, которым пользуется заемщик, составит уже меньшую сумму по сравнению с первым годом, а именно: (20000-А + 2600). Отсюда видно, что с течением времени сумма процентов снижается, а доля платежа возрастает.

Данный финансовый контракт можно представить в виде аннуитета постнумерандо, в котором известна его текущая стоимость, процентная ставка и продолжительность действия. Поэтому для нахождения величины годовою платежа А можно воспользоваться известной формулой.

Динамика платежей показана в Таблице. Отметим, что данные в ходе вычислений округлялись, поэтому величина процентов в последней строке найдена балансовым методом.

ГодОстаток ссуды на начало годаСумма годового платежаВ том числеОстаток на конец года
Проценты за годПогашенная часть долга
1200056872600308716913
21691356872199348813425
3134255687174539429483
494835687123344545029
55029568765850290
< Предыдущая СОДЕРЖАНИЕ Следующая >

Перейти к загрузке файла

Подводя итог можно сделать следующие общие выводы:
  • 1. Управление денежными потоками является одним из важнейших направлений деятельности финансового менеджера. Оно включает в себя расчет времени обращения денежных средств (финансовый цикл), анализ денежного потока, его прогнозирование, определение оптимального уровня денежных средств, составление бюджетов денежных средств.
  • 2. Цель управления денежными средствами состоит в том, чтобы инвестировать избыток денежных доходов для получения прибыли, но одновременно иметь их необходимую величину для выполнения обязательств по платежам и одновременного страхования на случай непредвиденных ситуаций.
  • 3. Анализ движения денежных средств позволяет с известной долей точности объяснить расхождение между величиной денежного потока, имевшего место на предприятии в отчетном периоде, и полученной за этот период прибылью.
  • 4. К денежным средствам могут быть применены модели, разработанные в теории управления запасами и позволяющие оптимизировать величину денежных средств. В западной практике наибольшее распространение получили модель Баумола и модель Миллера — Орра.
  • 5. Совершенствование управления денежными средствами предприятий заключается в правильном анализе денежных поступлений и определении их типа. Одним из основных элементов такого финансового анализа является оценка денежного потока типа постнумерандо и пренумерандо, распространенным частным случаем этих потоков является аннуитет.

  Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter

< Предыдущая СОДЕРЖАНИЕ Следующая >

Источник: https://studwood.ru/1459872/finansy/sposoby_otsenki_denezhnyh_potokov

Оценка денежного потока с неравными поступлениями

1.4.4. Оценка денежных потоков с неравными поступлениями

Ситуация, когда денежные поступления по годам варьируют, явля­ется наиболее распространенной. Общая постановка задачи в этом случае такова.

Пусть С1, C2, … , Сп — денежный поток; r— ставка дисконти­рования. Поток, все элементы которого с помощью дисконтирующих множителей приведены к одному моменту времени, а именно к на­стоящему моменту, называется приведенным. Требуется найти сто­имость данного денежного потока с позиции будущего и с позиции настоящего.

3.5.1. ОЦЕНКА ПОТОКА ПОСТНУМЕРАНДО

Прямая задача предполагает оценку с позиции будущего, т.е. на конец периода п, когда реализуется схема наращения, которую можно представить следующим образом (рис. 3.6).

Таким образом, на первое денежное поступление С1 начисляются сложные проценты за (n — 1) период, и оно в конце n-го периода станет равным C1/(1+г)n-1.

На второе денежное поступление С2 начисляются сложные проценты за (n-2) периода, и оно станет рав­ным C2(1+r)n-2 и т.д.

На предпоследнее денежное поступление Сn-1 проценты начисляются за один период, и оно будет в конце n-го периода равно Сn-1(1 + г). Естественно, на Сn проценты не начисляются.

Рис. 3.6. Логика решения прямой задачи для потока постнумерандо

Следовательно, наращенный денежный поток для исходного по­тока постнумерандо имеет вид:

C1(1+r)n-1, C2(1+r)n-2, …, Cn-1(1+r), Cn

и будущая стоимость FVpst исходного денежного потока (аннуитета) постнумерандо может быть оценена как сумма наращенных поступле­ний, т.е. получаем формулу:

FVpst=

Обратная задача подразумевает оценку с позиции текущего мо­мента, т.е. на конец периода 0. В этом случае реализуется схема дис­контирования, а расчеты необходимо вести по приведенному потоку.

Элементы приведенного денежного потока уже можно суммировать; их сумма характеризует приведенную, или текущую, стоимость де­нежного потока, которую при необходимости можно сравнивать с величиной первоначальной инвестиции.

Схема дисконтирования для исходного потока постнумерандо имеет следующий вид (рис. 3.7).

Таким образом, приведенный денежный поток для исходного по­тока постнумерандо имеет вид:

C1/1+r, С2/(1+r)2, …, Cn/ (1+r)n

Приведенная стоимость денежного потока постнумерандо PVpst в общем случае может быть рассчитана по формуле

(3.16)

Рис. 3.7. Логика решения обратной задачи для потока постнумерандо

Если использовать дисконтирующий множитель, то формулу (3.16) можно переписать в следующем виде:

Пример

Рассчитать приведенную стоимость денежного потока постнуме­рандо (тыс. руб.): 12, 15,9, 25, если ставка дисконтирования r = 12%.

Год Денежный поток (тыс. руб.) Дисконтирующий множитель при r=12% Приведенный поток (тыс. руб.)
0,8929 10,71
0,7972 11,96
0,7118 6,41
0,6355 15,89
44,97

3.5.2. ОЦЕНКА ПОТОКА ПРЕНУМЕРАНДО

Для прямой задачи схема наращения будет выглядеть следу­ющим образом (рис. 3.8).

Следовательно, будущая стоимость исходного денежного потока пренумерандо FVpre в общем виде может быть рассчитана по формуле

FVpre=

Рис. 7.8. Логика решения прямой задачи для потока пренумерандо

Очевидно, что FVpre = FVpst* (1+r).

Для обратной задачи схема дисконтирования может быть представ­лена следующим образом (рис. 3.9). '

Рис. 3.9. Логика решения обратной задачи для потока пренумерандо

Таким образом, приведенный денежный поток для исходного по­тока пренумерандо имеет вид:

C1, C2/1+r, C3/(1+r)2, …, Cn/(1+r)n-1

Следовательно, приведенная стоимость потока пренумерандо PVpre в общем виде может быть рассчитана по формуле:

PVpre= (3.19)

Как и в случае с будущей стоимостью, очевидно, что PVpre= PVpst х (1 +r). Так, если в предыдущей задаче предположить, что исходный поток представляет собой поток пренумерандо, то его приведенная стоимость будет равна:

PVpre = PVpst• (1 + г) =44,97 • 1,12 = 50,37 тыс. руб.

3.6 Оценка аннуитетов.

ОЦЕНКА АННУИТЕТОВ

3.6.1. ОЦЕНКА СРОЧНЫХ АННУИТЕТОВ

Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока. Известны два подхода к его определению.

Согласно первому подходу аннуитет представляет собой однонаправленный денежный поток, элементы которого имеют место через равные временные интервалы.

Второй подход накладывает дополнительное ограничение, а именно элементы денежного потока одинаковы по величине. Если число равных временных интервалов ограничено, аннуи­тет называется срочным. В этом случае

Ci=C2= … = Сn = А.

Как и в общем случае, выделяют два типа аннуитетов: постнуме-рандо и пренумерандо (рис. 3.10).

Аннуитет пренумерандо Аннуитет постнумерандо

Рис 7.10. Виды срочных аннуитетов

Примером срочного аннуитета постнумерандо могут служить ре­гулярно поступающие рентные платежи за пользование сданным в аренду земельным участком в случае, если договором предусматри­вается регулярная оплата аренды по истечении очередного периода. В качестве срочного аннуитета пренумерандо выступает, например, схема периодических денежных вкладов на банковский счет в начале каждого месяца с целью накопления достаточной суммы для круп­ной покупки.

Аннуитет еще называют фи­нансовой рентой, или просто рентой. Любое денежное поступление называется членом ренты, а величина постоянного временного ин­тервала между двумя последовательными денежными поступления­ми называется периодом аннуитета (периодом ренты).

Прямая задача оценки срочного аннуитета при заданных величи­нах регулярного поступления (А) и процентной ставке (г) предполага­ет оценку будущей стоимости аннуитета. Как следует из логики, при­сущей схеме аннуитета постнумерандо, наращенный денежный поток имеет вид:

A*(1+r)n-1, A*(1+r)n-2, . . . , A*(1+r), A

(3.20)

Входящий в формулу множитель FM3(r, n) называется мультипли­цирующим множителем для аннуитета, или коэффициентом нара­щения ренты (аннуитета), и представляет собой сумму п первых чле­нов геометрической прогрессии, начинающейся с 1, и знаменателем (1+г).

Таким образом,

FM3(r,n) = (3.21)

Экономический смысл мультиплицирующего множителя FM3(r, n) заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммар­ная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия.

Предполагается, что про­изводится лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета. Множитель FM3(r, n) часто используется в финансовых вычислениях.

Его значения зависят лишь от процентной ставки (г) и срока (и) действия аннуитета, при­чем с увеличением каждого из этих параметров величина FM3(r, n) возрастает. Значения множителя для различных сочетаний г и л мож­но табулировать (приложение 3).

Из формулы (3.20) следует, что FM3(r, л) показывает, во сколько раз наращенная сумма аннуитета больше величины денежного поступле­ния А. В связи с этим множитель FM3(r, и) называют также коэффици­ентом аккумуляции вкладов.

Пример

Вам предлагают сдать в аренду участок на три года, выбрав один из двух вариантов оплаты аренды: а) 10 тыс. руб. в конце каждого года; б) 35 тыс. руб. в конце трехлетнего периода. Какой вариант более пред­почтителен, если банк предлагает 20% годовых по вкладам?

Первый вариант оплаты как раз и представляет собой аннуитет постнумерандо при и = 3 и A=10 тыс. руб.

В этом случае имеется возможность ежегодного получения арендного платежа и инвестиро­вания полученных сумм, как минимум, на условиях 20% годовых (на­пример, вложение в банк).

К концу трехлетнего периода накопленная сумма может быть рассчитана в соответствии со схемой, аналогичной схеме, представленной на рис. 3.6.

Таким образом, расчет показывает, что вариант (а) более выгоден.

Общая постановка обратной задачи оценки срочного аннуитета постнумерандо также достаточно наглядна.

В этом случае произво­дится оценка будущих денежных поступлений с позиции текущего момента, под которым в данном случае понимается момент времени, начиная с которого отсчитываются равные временные интервалы, вхо­дящие в аннуитет.

Схема дисконтирования денежного потока на при­мере вышеприведенной задачи с арендой участка, построенная по ана­логии со схемой на рис. 3.7, представлена на рис. 3.11.

Экономический смысл сделанных расчетов состоит в следующем: с позиции текущего момента реальная стоимость данного аннуитета может быть оценена в 21,064 тыс. руб.

Общая формула для оценки текущей стоимости срочного аннуитета постнумерандо выводится из базовой формулы (3.16) и имеет вид:

(3.22)

Множитель FM4(r, n) называется дисконтирующим множителем для аннуитета, или коэффициентом дисконтирования ренты (аннуитета), и как сумма членов геометрической прогрессии равен величине:

FM4(r,n)=

Экономический смысл дисконтирующего множителя FM4(r, n) зак­лючается в следующем: он показывает, чему равна с позиции текущего момента величина аннуитета с регулярными денежными поступлени­ями в размере одной денежной единицы (например, один рубль), продолжающегося nравных периодов с заданной процентной ставкой r. Значения этого множителя также табулированы (приложение 3).

FM4 (20%,3)= 2,106, поэтому PV

PV =FV при r=0

Дисконтирующий множитель FM4(r, n) полезно интерпретировать и как величину капитала, поместив который в банк под сложную про­центную ставку г, можно обеспечить регулярные выплаты в размере одной денежной единицы в течение п периодов (выплаты произво­дятся в конце каждого периода).

Будущая сто­имость аннуитета пренумерандо может быть найдена по формуле:

FV =FV *(1+r)=A*FM3(r,n)*(1+r) (3.24)

FV (3.25)

Аналогично приведенная стоимость аннуитета пренумерандо мо­жет быть найдена по формуле

PV = PV *(1+r)= A*FM4(r,n) *(1+r) (3.26)

или

PV =A (3.27)

Из приведенных формул видно, почему в финансовых таблицах не уточняется, какая схема подразумевается в финансовой сделке — по-стнумерандо или пренумерандо; содержание финансовой таблицы инвариантно к этому фактору. Однако при применении расчетных формул или финансовых таблиц необходимо строго следить за схемой поступления денежных платежей.

Пример

Ежегодно в начале года в банк делается очередной взнос в размере 10 тыс. руб. Банк платит 20% годовых. Какая сумма будет на счете по истечении трех лет?

В данном случае мы имеем дело с аннуитетом пренумерандо, буду­щую стоимость которого и предлагается оценить. В соответствии с формулой (3.24) найдем искомую сумму S:

FV =S=10*(1+ 0,2) * FM3(20%,3) = 10*1,2*3,640=43,68 тыс. руб.

Многие практические задачи могут быть решены различными спо­собами в зависимости от того, какой денежный поток выделен анали­тиком. Рассмотрим простейший пример.

Пример

Вам предложено инвестировать 100 тыс. руб. на срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 20 тыс. руб.). По истечении пяти лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 30 тыс. руб. Принимать ли это предложение, если можно «безопасно» депонировать деньги в банк из расчета 12% годовых?

Для принятия решения необходимо рассчитать и сравнить две сум­мы. При депонировании денег в банк к концу пятилетнего периода на счете будет сумма:

F5 = Р *(1 + r)5 = 100 * (1 + 0,12)5 = 176,23 тыс. руб.

В отношении альтернативного варианта, предусматривающего воз­мещение вложенной суммы частями, предполагается, что ежегодные поступления в размере 20 тыс. руб. можно немедленно пускать в обо­рот, получая дополнительные доходы. Если нет других альтернатив по

эффективному использованию этих сумм, их можно депонировать в банк. Денежный поток в этом случае можно представить двояко:

а)как срочный аннуитет постнумерандо с А = 20, п = 5, r = 20% и
единовременное получение суммы в 30 тыс. руб.;

б)как срочный аннуитет пренумерандо с А = 20, п = 4, r = 20% и
единовременное получение сумм в 20 и 30 тыс. руб.

В первом случае на основании формулы (7.20) имеем:

FV =S = 20 • FM3(12%,5) + 30 = 20 * 6,353 + 30 = 157,06 тыс. руб.

Во втором случае на основании формулы (7.24) имеем:

FV =S=— 20 *FM3( 12%А) *1,2 + 20 + 30 = 20 * 4,779 * 1,12 + 50 = 157.06 тыс.руб.

Естественно, что оба варианта привели к одинаковому ответу. Та­ким образом, общая сумма капитала к концу пятилетнего периода бу­дет складываться из доходов от депонирования денег в банке (107,06 тыс. руб.

), возврата доли от участия в венчурном проекте за после­дний год (20 тыс. руб.) и единовременного вознаграждения (30 тыс. руб.). Общая сумма составит, следовательно, 157,06 тыс. руб.

Предло­жение экономически нецелесообразно.

'3.6.2. МЕТОД ДЕПОЗИТНОЙ КНИЖКИ

Логика метода депозитной книжки такова. Сумма, положенная на депозит, приносит доход в виде процентов; при снятии с депозита некоторой суммы базовая величина, с которой начис­ляются проценты, уменьшается. Как раз эта ситуация и имеет место в случае с аннуитетом.

Текущая стоимость аннуитета — это величина де­позита с общей суммой причитающихся процентов, ежегодно уменьша­ющаяся на равные суммы. Эта сумма годового платежа включает в себя начисленные за очередной период проценты, а также некоторую часть основной суммы долга.

Таким образом, погашение исходного долга осу­ществляется постепенно в течение всего срока действия аннуитета.

Струк­тура годового платежа постоянно меняется — в начальные периоды в нем преобладают начисленные за очередной период проценты; с тече­нием времени доля процентных платежей постоянно уменьшается и по­вышается доля погашаемой части основного долга. Логику и счетные про­цедуры метода рассмотрим на простейшем примере.

Пример

В банке получена ссуда на пять лет в сумме 20 000 долл. под 13% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашен­ный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Требуется определить величину годового платежа.

Если обозначить за А величину искомого годового платежа, то дан­ный финансовый контракт можно представить в виде следующей схе­мы (рис. 3.12).

Рнс.3.12. Схема к методу депозитной книжки

Для лучшего понимания логики метода депозитной книжки целесо­образно рассуждать с позиции кредитора. Для банка данный контракт представляет собой инвестицию в размере 20 000 долл., т.е. отток де­нежных средств, что и показано на схеме.

В дальнейшем в течение пяти лет банк будет ежегодно получать в конце года сумму А, причем каждый годовой платеж будет включать проценты за истекший год и часть ос­новной суммы долга. Так, поскольку в течение первого года заемщик пользовался ссудой в размере 20 000 долл.

, то платеж, который будет сде­лан в конце этого года, состоит из двух частей: процентов за год в сумме 2 600 долл. (13% от 20 000 долл.) и погашаемой части долга в сумме (А-2 600) долл.

В следующем году расчет будет повторен при условии, что размер кредита, которым пользуется заемщик, составит уже меньшую сумму по сравнению с первым годом, а именно: (20 000 -А+2 600) долл. Отсюда видно, что с течением времени сумма уплачиваемых процен­тов снижается, а доля платежа в счет погашения долга возрастает.

Из схемы на рис. 7.12 видно, что мы имеем дело с аннуитетом постнуме-рандо, о котором известны его текущая стоимость, процентная ставка и продолжительность действия. Поэтому для нахождения величины го­дового платежа А можно воспользоваться формулой (7.22):

PV 20 000 = FM4(13%,5) *А = 3,517 *А, т.е. А =5687 долл.

https://www.youtube.com/watch?v=h4keRkjmKwM

Динамика платежей показана в табл. 7.1. Отметим, что данные в ходе вычислений округлялись, поэтому величина процентов в после­дней строке найдена балансовым методом.

Таблица 7.1 Метод депозитной книжки

Год Остаток ссуды на начало года Сумма годового платежа В том числе Остаток ссуды на конец года
Проценты за год Погашенная часть долга

Данная таблица позволяет ответить на ряд дополнительных воп­росов, представляющих определенный интерес для прогнозирования денежных потоков. В частности, можно рассчитать общую сумму про­центных платежей, величину процентного платежа в k-м периоде, долю кредита, погашенную в первые к лет, и т.п.

3.6.3 Оценка аннуитета с изменяющейся величиной платежа

На практике возможны ситуации, когда величина платежа меняется со временем в сторону увеличения и уменьшения.

В частности, при заключении договоров аренды в условиях инфляции может предусматриваться периодическое увеличение платежа, компенсирующее негативное влияние изменения цен.

Оценка аннуитета в этом случае может также выполняться путем несложных расчетов с помощью финансовых таблиц. Рассмотрим технику вычислений.

Пример

Сдан участок в аренду на десять лет. Арендная плата будет осуществляться ежегодно по схеме постнумерандо на условиях: в первые шесть лет по 10 тыс. руб., в оставшиеся четыре года по 11 тыс. руб. Требуется оценить приведенную стоимость этого договора, если процентная ставка, используемая аналитиком, равна 15%.

Общая схема денежного потока представлена на рис. 3.13.

Рис. 3.13. Аннуитет с изменяющейся величиной платежа

Рассмотрим два варианта решения из нескольких возможных.

1. Исходный поток можно представить как сумму двух аннуитетов: первый имеет А=10 и продолжается 10 лет; второй имеет А=11 и продолжается четыре года. По формуле можно оценить приведенную стоимость каждого аннуитета.

Однако второй аннуитет в этом случае будет оценен с позиции начала седьмого года, поэтому полученную сумму необходимо дисконтировать с помощью формулы к началу первого года.

В этом случае оценки двух аннуитетов будут приведены к одному моменту времени, а их сумма даст оценку приведенной стоимости исходного денежного потока.

PV=10*FM4(15%, 10)+FM2(15%,6)*1*FM4(15%,4)=10*5,019+2,855*1*0,432=51,42 тыс. руб.

2. Исходный поток можно представить себе как разность двух аннуитетов: первый имеет А=11 и продолжается десять лет; второй имеет А= 1 и, начавшись в первом году, заканчивается в шестом.

PV=11*FM4(15%,10)-1*FM4(15%,6)=11*5,019-1*3,784=51,42 тыс. руб.

БЕССРОЧНЫЙ АННУИТЕТ

Аннуитет называется бессрочным, если денежные поступления продолжаются достаточно длительное время. Математически это оз­начает, что n стремится к ∞ .

Характерным примером бессрочного аннуитета являются консоли — выпускаемые правительствами некоторых стран облигации, по которым производят регулярные купонные выплаты, но которые не имеют фиксированного срока.

В западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет. Бессрочный аннуитет также называют и вечной рентой.

В этом случае прямая задача (определение будущей стоимости аннуитета) не имеет смысла, однако обратная задача (определение приведенной стоимости аннуитета) имеет решение.

Поток платежей в постоянном бессрочном аннуитете при одном денежном поступ­лении А за период (например, равный году), являющийся базисным для начисления процентов по ставке г, представляет собой бесконеч­но убывающую геометрическую прогрессию с первым членом А/(1 + г) и знаменателем 1/(1 + г).

Для бессрочного аннуитета постнумерандо, используя формулу для определения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии или переходя в (3.22) к пре­делу при п стремится к бесконечности получим:

PV (3.28)

Формула (3.28) показывает, что поток даже с неограниченным чис­лом платежей имеет все же конечную приведенную стоимость. С фи­нансовой точки зрения это понятно, поскольку деньги, которые по­ступят через много лет, сейчас мало что стоят (а при высокой инфля­ции практически ничего не стоят).

В качестве г обычно принимается гарантиро­ванная процентная ставка (например, процент, предлагаемый госу­дарственным банком).

Пример

Определить текущую (приведенную) стоимость бессрочного анну­итета постнумерандо с ежегодным поступлением 4,2 тыс. руб., если предлагаемый государственным банком процент по срочным вкладам равен 14% годовых.

https://www.youtube.com/watch?v=PQELeH6zqRU

По формуле (7.28):

PV = 4,2 : 0,14 = 30 тыс. руб.

Следовательно, если аннуитет предлагается по цене, не пре­вышающей 30 тыс. руб., он представляет собой выгодную инвес­тицию.

Приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо оп­ределяется с помощью приведенной стоимости бессрочного аннуите­та постнумерандо по формуле (3.26):

PV

т.е. приведенная сто­имость бессрочного аннуитета пренумерандо отличается от таковой для постнумерандо на величину первого платежа.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/8_63527_otsenka-denezhnogo-potoka-s-neravnimi-postupleniyami.html

Денежный поток с неравными поступлениями

1.4.4. Оценка денежных потоков с неравными поступлениями

Ситуация, когда денежные поступления по годам варьируют, является наиболее распространенной. Общая постановка задачи в этом случае такова.

Пусть F1, F2, … , Fn — денежный поток; r — коэффициент дисконтирования. Поток, все элементы которого приведены к одному моменту времени, называется приведенным. Согласно формуле (4.9) его элементы будут иметь вид:

Стоянова Фин Мен

Аннуитеты

В большинстве современных коммерческих операций подразумеваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений (или, наоборот, выплат) в течение определенного периода.

Это может быть серия доходов расходов; некоторого предприятия, выплата задолженностей, регулярные или нерегулярные взносы для создания разного рода фондов и т. д.

Такая последовательность называется потоком платежей.

 Поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет называется аннуитетом (финансовой рентой).

Теория аннуитетов является важнейшей частью финансовой математики. Она применяется при рассмотрении вопросов доходности ценных бумаг, в инвестиционном анализе и т. д. Наиболее _ распространенные примеры аннуитета: регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам.

Аннуитеты различаются между собой следующими основными характеристиками:

— величиной каждого отдельного платежа;

— интервалом времени между двумя последовательными платежами (периодом аннуитета);

— сроком от начала аннуитета до конца его последнего периода(бывают и неограниченные по времени — вечные аннуитеты);

— процентной ставкой, применяемой при наращении или дисконтировании платежей.

Аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале соответствующих интервалов, носит название аннуитета пренумерандо; если же платежи осуществляются в конце интервалов, мы получаем аннуитет постнумерандо (обыкновенный аннуитет) —пожалуй, самый распространенный случай.

Наибольший интерес с практической точки зрения представляют аннуитеты, в которых все платежи равны между собой (постоянные аннуитеты), либо изменяются в соответствии с некоторой закономерностью. Именно такие аннуитеты мы и изучим в дальнейшем.

Введем следующие обозначения:

Р — величина каждого отдельного платежа;

iс — сложная процентная ставка, по которой начисляются проценты;

Sk — наращенная сумма для k-го платежа аннуитета постнумерандо;

S — наращенная (будущая) сумма всего аннуитета постнумерандо (т. е. сумма всех платежей с процентами);

Аk — современная величина k-го платежа аннуитета постнумерандо;

А — современная величина всего аннуитета постнумерандо (т. е. сумма современных величин всех платежей);

Sn — наращенная сумма аннуитета пренумерандо;

An — современная величина аннуитета пренумерандо;

n — число платежей.

Рассмотрим аннуитет постнумерандо с ежегодными платежами Р в течение n лет, на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке iс (рис. 5).

Рис. 5. Будущая стоимость аннуитета постнумерандо

Сумма Si для первого платежа, проценты на который будут начисляться, очевидно, (n — 1) раз, составит по формуле (3.1):

S1 = P (1 + iс)n-1

Для второго платежа (проценты на него будут начисляться на один год меньше) имеем

S2 = P (l + iс)n-2

и так далее. На последний платеж, произведенный в конце n-то года, проценты уже не начисляются, т. е.

S n = P.

Тогда для общей наращенной суммы имеем

Крейнина Фин Мен

Стр218

оценка структуры активов, уровень обеспеченности собственными средствами, уровень ликвидности и доходности собственных вложений компаний и т. д.

Временная стоимость денег.

Сложные проценты

Финансовое управление — это принятие решений, касающихся денег. Ценой денег является процент. Поэтому при разработке % большей части финансовых решений учитывают процентные ставки.

Сложный процент — это экономическая категория, используемая для сопоставления одной и той же суммы денег в различные периоды времени с учетом того, что в каждом периоде доход приносит не только первоначально вложенная сумма, но и процент от нее, начисленный в предшествующем периоде.

1. Расчет будущей стоимости текущего капитала.

В банк вложено 10 тыс. руб. на 3 года при ставке 20% годовых. Сумма вложена в начале года. Таким образом, речь идет о единовременном вкладе денежной суммы в банк на определенный срок в целях ее увеличения. Рассчитаем величину прироста вложенной суммы (табл. 10.1).

Таблица 10.1.

Расчет будущей стоимости текущего капитала (тыс. руб.)

Год Сумма вклада на начало года Сумма прироста вклада(гр. 1 х 20%) Сумма вклада на конец года (гр. 2 + гр. 3)
1 2 3 4
1 10,0 2,0 12,0
2 12,0 2,4 14,4
3 14,4 2,88 17,28

Таким образом, в конце 3-го года первоначально вложенная сумма 10 тыс. руб. превратилась в 17,28 тыс. руб.

Из расчета следует, что в данном случае работает не только первоначально вложенная сумма, но и процент от нее; проявляется эффект сложного процента.

Логика сложного процента состоит в том, что все деньги которые остаются на вкладе, приносят доход. Математически будущая  стоимость текущего капитала по данным нашего примера рассчитывается следующим образом: 17,28 =10 (1 + 0,2)3.

В отличие от сложного процента, при применении простого процента доход приносит первоначальная сумма.

В условиях нашего примера применение простого процента привело бы к следующему результату: 10 + 0,2 * З * 10 = 10,6 тыс. руб. 

Начисление процентов может производиться/несколько раз в течение года: возможно полугодовое, квартальное, месячное начисление процентов на остаток денег на счете. Частота начисления процентов при фиксированной годовой ставке имеет практическое значение для прироста суммы вклада.

Например, в банк вложено 100 руб. под 12% годовых. Начисление процентов производится 2 раза в год. В этом случае появляются новые понятия:

периодическая ставка — это ставка для начисления процентов на протяжении каждого отдельного периода;

годовая номинальная ставка — это ставка, равная произведению периодической ставки на количество периодов начисления процентов в году;

годовая фактическая ставка — это годовая ставка, включающая начисленные сложные проценты. Она определяется как процентное отношение дохода на капитал в конце года к величине капитала в начале года. Годовая фактическая ставка называется также эффективной ставкой.

Таким образом, в нашем примере периодическая ставка равна 12 : 2 + 6%; будущая стоимость капитала составит: 100 (1 + 0,06)2 = 112,36 руб.; доход на капитал равен 12, 36 руб. Эффективная ставка: 12,36 : 100 = 0,1236 = 12,36%.

Следовательно, эффективная годовая ставка оказалась больше годовой номинальной. Чем больше периодов начисления процентов в году, тем эта разница будет существеннее.     

2. Расчет будущей стоимости аннуитета.

До сих пор мы оперировали понятиями «единовременное поступление», «вклад». Аннуитет — это серия равновеликих платежей в течение определенного количества периодов (арендная плата и др.). Различают обычный и авансовый аннуитет. Обычный предусматривает осуществление платежей в конце каждого периода, авансовый — в начале каждого периода.

Пример. Постоянный платеж 1 тыс. руб. вносится на банковский счет в конце каждого года при 10% годовых в течение 5 лет. Сколько денег окажется на счете к концу 5-го года (табл. 10.2)?

Таблица 10.2.

Расчет будущей стоимости обычного аннуитета (тыс. руб.)

В общем виде расчет будущей стоимости обычного аннуитета по данным нашего примера можно записать следующим образом

Числитель — величина начисленных за 5 лет процентов, а ее делением на ставку процентов получается общая сумма вклада к концу 5-го года.

Пример. При тех же исходных данных изменяется лишь одно условие: платеж перечисляется на счет не в конце, а в начале каждого года. Рассмотрим динамику изменения вклада в начале и конце каждого года в этом случае (табл. 10.3).

Таблица 10.3.

Расчет будущей стоимости авансового аннуитета (тыс. руб.)

В общем виде расчет будущей стоимости авансового аннуитета по данным нашего примера можно записать так:

Следовательно, авансовый аннуитет дает больший прирост вложенной суммы, чем обычный. Даже без специальных расчетов ясно, что так и должно быть, поскольку практически период перечисления средств увеличился на 1 год, т. е.

проценты начисляются не 4 раза, а 5 раз. Преимущество авансового аннуитета перед обычным можно рассчитать более простым способом: 6,1051 х 1,1 = = 6,71561 тыс. руб.

(1,1 — степень увеличения вложенной суммы в каждом последующем году по сравнению с предыдущим.

3. Расчет необходимой суммы вклада для получения заданной величины капитала в последнем периоде, при заданной ставке годового процента.

Пример. Предприятие берет в кредит сумму 1 млн руб. на 3 года под 20% годовых. Каждый год предприятие платит только проценты, т. е. 200 тыс. руб. Какую сумму надо каждый год депонировать в банке, чтобы в конце третьего года выплатить основную сумму долга?

Ежегодное депонирование в банке определенных равных сумм — это аннуитет. Выше мы рассчитывали будущую стоимость аннуитета, которую можно записать следующей формулой:

где Сба — будущая стоимость аннуитета;

Пл — сумма ежегодного платежа;

Пк — ставка процентов за кредит (или процента по вкладу) в Юдолях единицы;

n — число лет, на которое взят кредит (или в течение которого платится аннуитет).

В данном случае надо определить Пл. Исходя из формулы (10.1), он равен

Подставив в формулу (10.2) данные нашего примера, получаем

Следовательно, для того, чтобы рассчитаться с долгом, необходимо ежегодно вносить на счет 274,7 тыс. руб. Эта сумма обеспечит своевременное погашение долга вместе с процентами.

Пример. Гражданин взял на своем предприятии льготный беспроцентный кредит на 5 лет в размере 10 тыс. руб. Какую сумму он должен депонировать ежемесячно в банке для возврата кредита, если ставка по остатку на вкладе составляет 10% годовых, начисляемых ежемесячно. Для решения воспользуемся формулой (10.2).

Поскольку проценты на вклад начисляются ежемесячно, Пк = 10 : 12 = 0.83%.

Если бы при тех же условиях тот же гражданин просто накапливал деньги для выплаты долга дома, он должен был бы ежемесячно откладывать 167 руб. (10 000 : 60 = 167). Накопление денег в банке дает ему ежемесячную экономию в сумме 38 руб.

4. Расчет текущей стоимости будущего капитала.

Текущая стоимость будущего капитала — это величина, противоположная будущей стоимости текущего капитала. Это сегодняшняя стоимость капитала, который должен быть получен в будущем. Будущую стоимость текущего капитала мы определяли по формуле:

Cбк = Стк (1 = Пк)n

где Сбк — будущая стоимость текущего капитала;

Стк — текущая стоимость капитала; остальные обозначения даны выше.

При определении будущей стоимости текущего капитала мы рассчитывали, на какую величину возрастет первоначальная сумма. Теперь мы решаем обратную задачу, прослеживаем движение капитала назад во времени, поэтому его сумма в абсолютном выражении уменьшается (дисконтируется).

Текущая стоимость будущего капитала — это очень важное понятие, используемое при оценке стоимости имущества, приносящего доход. Оно используется для оценки текущей стоимости

будущего единовременного дохода — ценной бумаги или будущей продажи объекта недвижимости.

Пример. Имеется ценная бумага, на которой написано, что через 5 лет она дает право на получение 1 млн руб. Сегодняшняя годовая стоимость денег на рынке капитала —-10%. Сколько стоит ценная бумага сегодня?

Если бы стоимость денег на рынке капитала была сегодня, допустим, не 10, а 20%, текущая стоимость ценной бумаги была бы равна 578,7 тыс. руб. (1000/1,728).

Чем выше сегодняшняя стоимость денег на рынке капитала, тем ниже текущая стоимость будущего капитала при одной и той же будущей стоимости.

Процесс пересчета будущей стоимости капитала в настоящую носит название дисконтирование, а ставка, по которой производится дисконтирование, — ставки дисконта. Очень часто фактор текущей стоимости будущего капитала называют фактором дисконта и говорят о дисконтировании будущего единовременного дохода в текущую стоимость.

Пример. Предприниматель решил приобрести объект недвижимости с тем, чтобы через 5 лет перепродать его с 10-процентной выгодой для себя за 3 млн руб.. Какую максимальную сумму он может предложить продавцу недвижимости сегодня?

Если цена покупки будет выше, предприниматель не получит 10-процентного дохода; если она будет ниже, предприниматель получит более высокий доход. Например, при покупке за 2000 тыс. руб. его доход составит: (3000:2000)1/3 — 1 = 0,15 = 15%; при покупке за 2500 тыс. руб. доход равен (3000:2500) 1/3 — 1 = 0,07 = 7%.

Смысл проведения подобных расчетов состоит в том, чтобы определить сумму, которую следует заплатить за актив сегодня с тем, чтобы получить желаемую отдачу от инвестиций в этот актив на основе прогноза стоимости его продажи в будущем.

5. Расчет текущей стоимости аннуитета.

В этом случае сложный процент применяется в качестве инструмента для определения текущей стоимости накопления капитала за некое число периодов. В процессе оценки анализируются будущие потоки доходов с точки зрения их сегодняшней стоимости. В зависимости от характера платежа рассмотрим расчет для обычного и для авансового аннуитетов.

Пример расчета текущей стоимости обычного аннуитета.

Источник: https://studopedia.net/3_57854_denezhniy-potok-s-neravnimi-postupleniyami.html

Studio-pravo
Добавить комментарий