§ Id. Гиперболические распределения и процессы: 1. В 1977 году О. Барндорфф-Нильсен (О. Barndorff-Nielsen) ввел,

Нейросетевое приложение для оценивания характеристической экспоненты процесса Леви на примере распределения Бандорффa-Нильсена

§ Id. Гиперболические распределения и процессы:  1. В 1977 году О. Барндорфф-Нильсен (О. Barndorff-Nielsen) ввел,

Авторы статьи: Белявский Г.И. Пучков Е.В., Лила В.Б. 

Введение. Основная задача, которая рассматривается в статье, заключается в построении нейросетевой модели для оценки характеристической экспоненты процесса Леви.

Первая работа, связанная с вычислением характеристик случайной последовательности была выполнена в 1949 году Д. Хеббом [1]. Эта работа была связана с решением задачи самообучения нейросети. В последствии было доказано, что алгоритм обучения Д.

Хебба непосредственно связан с вычислением главной компоненты. Более эффективный алгоритм обучения сети для вычисления главной компоненты последовательности может быть получен как частный случай метода стохастического градиента [2] с использованием отношения Релея.

Если U главный собственный вектор ковариационной матрицы последовательности, то n — е приближение к U вычисляется следующим образом (см., например, [2])

(1)

В (1) последовательность h удовлетворяет условию: , — n-й элемент обучающей выборки.

Были предложены алгоритмы для определения нескольких главных компонент: (Sanger 1989 [3], Oja 1989 [4] , 1992 [5], Dente and Vilela Mendes 1996 [6]).

Для определения нескольких главных компонент можно также использовать метод стохастического градиента. Соответствующий алгоритм вычисления k -главных собственных векторов ковариационной матрицы определяется системой равенств:

(2)
…..

Обоснование алгоритма и доказательство сходимости можно найти в [2]. Если многомерный закон распределения последовательности нормальный с нулевым математическим ожиданием, то ковариационная матрица содержит полную информацию о законе распределения и использование метода главных компонент является оправданным.

Если закон распределения не является нормальным, то метод главных компонент является неполным, поскольку не учитывает полностью информацию о поведении данных, например, связанную с моментами порядка три и более. Известен ряд работ (Softy and Kammen 1991 [7], Taylor and Coombes 1993 [8]), в которых метод главных компонент обобщается на моменты более высокого порядка.

Эти сети позволяют анализировать данные более сложной природы – приближать их поверхностью, отличающейся от плоскости как в методе главных компонент. Применения метода главных компонент и обобщенного метода главных компонент для анализа данных не всегда оправдано, поскольку не всегда существуют моменты необходимого порядка у анализируемого закона распределения.

В тоже время характеристическая функция существует для любого закона распределения [9].
В последнее время большой интерес проявляется к процессам Леви [10], в связи с использованием этих процессов при моделировании в различных приложениях. Поведение процессов Леви полностью описывается параметрическим семейством одномерных законов распределения .

Семейство законов распределения однозначно определяется семейством характеристических функций:

(3)

В (3) характеристическая экспонента

(4)

Несобственный интеграл Лебега в (4) вычисляется по мере Леви, обладающей следующим свойством:

(5)

Интеграл отвечает за скачкообразную составляющую процесса Леви. Приращения процесса Леви — независимые и одинаково распределенные случайные величины с характеристической функцией .

Положив , получим соотношение, которое в дальнейшем будет использовано для оценки характеристической экспоненты. Далее будем использовать обозначение: . Как уже отмечалось случайные величины Y — независимые и одинаково распределенные случайные величины.

Их общая характеристическая функция может быть представлена следующим образом:

.

Отсюда

(6)

Формула (6) позволяет вычислить характеристическую экспоненту, используя оценки A и B. Далее рассматривается оценка A(y), поскольку оценка B(y) выполняется аналогично.
Алгоритм обучения нейросети, использующий потенциальные функции. Структура нейросети, предназначенной для вычисления оценки A(y) представлена на рис. 1.

Рис.1. Структура нейросети (The neural network structure)

Допустим, что нам необходимо вычислять характеристическую экспоненту в интервале значений аргумента: разобьем данный интервал на N частей с требуемой точностью вычислений.

Определим потенциальную функцию U(y) следующими условиями:
а) носителем функции является симметричный интервал ;б) функция является симметричной;

в) функция является гладкой, на интервале функция возрастает, на интервале функция убывает.

Примером такой функции может служить функция Ланцоша [11] . В качестве критерия обучения рассмотрим средний квадрат отклонения:

(7)

В (7) закон распределения — точки разбиения интервала . Задача обучения заключается в вычислении минимума .
Наиболее простая ситуация получается если h совпадает с длиной элементарного интервала разбиения — . В этом случае критерий обучения (7) будет иметь вид:

(8)

Из этого соотношения следует, что минимум критерия обучения достигается, когда . Следовательно, алгоритм обучения определяется равенствами:

(9)

Для общего случая может быть применен стохастический аналог адаптивного алгоритма обучения [12]:

(10)

В формуле (10) — стохастический градиент критерия , -я координата которого , .Далее рассматривается пример оценки вещественной части характеристической функции для гиперболического распределения при помощи адаптивного алгоритма обучения.Гиперболические распределения. В 1997 году О. Барндорфф-Нильсен предложил [13] обобщенные гиперболические распределения.

Введение этих распределений обусловлено необходимостью описания некоторых эмпирических закономерностей в геологии, геоморфологии, турбулентности и финансовой математики.

Собственно гиперболическое распределение и гауссовское\\обратно-гауссовское распределение являются наиболее употребительными распределениями.

Каждое из этих распределений является смесью нормальных законов:

  с плотностью и с плотностью .(11)

В (11) — модифицированная функция Бесселя третьего рода с индексом 1. Остановимся на одном из распределений, например, на гиперболическом распределении. Характеристическая функция, благодаря (11), будет иметь вид: . С использованием соответствующей плотности (11) получим равенство для вещественной части характеристической функции:

(12)

Формула (12) позволяет вычислить вещественную часть характеристической функции, используя численное интегрирование. Это в свою очередь позволяет определить различие между оценкой, полученной с помощью обучения нейросети, со значением, полученным по формуле (12).

Для получения обучающей выборки использовались два генератора. С помощью первого генератора выбиралась дисперсия — , при этом использовалась первая плотность из (11), затем генерировалась нормальная случайная величина — . Результаты расчетов приведены на рис.2.

Параметры гиперболического распределения в эксперименте принимали следующие значения: . Число итераций составило 325.

Рис. 2. Вещественная часть характеристической функции гиперболического распределения.

Пунктирная линия соответствует численному интегрированию, сплошная линия получена в результате обучения нейросети адаптивным алгоритмом (The real part of the characteristic features of a hyperbolic distribution.

The dotted line corresponds to the numerical integration, continuous line obtained as a result of neural network training using a adaptive algorithm).

Таким образом, после обучения нейросеть с удовлетворительной степенью точности позволяет вычислять оценку основной характеристики процесса Леви – характеристической экспоненты.
Замечание. Кроме выше перечисленных работ следует упомянуть работу Dente J. A.

[14], в которой излагается идея оценки характеристической функции с помощью обучения нейросети. Основное отличие нашего исследования состоит в использовании другого алгоритма обучения. Кроме этого заметим, что эта методика применима только для процессов с независимыми и однородными приращениями, к которым относятся процессы Леви.

В противном случае необходимо учитывать зависимость характеристической функции от времени.

Литература

  1. Hebb, D. O. Organization of behavior. New York: Wiley, 1949, 335 p.
  2. Белявский Г.И. О некоторых алгоритмах определения главных компонент в пространстве признаков // Математический анализ и его приложения. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1975. №7. С. 63­-67.
  3. Sanger, T. D. Optimal unsupervised learning in a single-layer linear feedforward neural network // Neural Networks 2, 1989, pp. 459-
  4. Oja E. Neural networks, principal components and subspaces // J. of Neural Systems, 1989. №1, pp. 61-68.
  5. Oja E. Principal components, minor components and linear neural networks // Neural Networks, 1992. №5, 927-935.
  6. Dente J. A. and Vilela Mendes R. // Unsupervised learning in general connectionist systems, Network: Computation in Neural Systems, №7, pp. 123-139.
  7. Softy, W. R. and Kammen, D. M. Correlations in high dimensional or asymmetric data sets: Hebbian neuronal processing // Neural Networks, 1991. №4, pp. 337-
  8. Taylor J. G. and Coombes S. Learning higher order correlations, Neural Networks, 1993. №6, pp. 423-
  9. Lukacs E. Characteristic functions, Griffin’s Statistical Monographs& Courses, No. 5. Hafner Publishing Co., New York, 1960, 216 p.
  10. Cont R.,Tankov P. Financial modeling with jump processes. London: Chapman Hall / CRC, 2004, 606 p.
  11. Жуков М.И. Метод Фурье в вычислительной математике. – М.: Наука, 1992. 176 с.
  12. Белявский Г.И., Пучков Е.В., Лила В.Б. Алгоритм и программная реализация гибридного метода обучения искусственных нейронных сетей // Международный журнал «Программные продукты и системы». Тверь, 2012. №4. С. 96-100.
  13. Barndorff-Nielsen O.E. Exponentially decreasing distributions for the logarithm of particle size // Proceeding of the Royal Society. London: Ser. A, Math. Phys V.353, 1977, pp. 401
  14. Joaquim A. Dente, R. Vilela Mendes Characteristic functions and process identification by neural networks // arXiv: physics 9712035 v1[physics.data-an], 1997, pp. 1465

в: Международный журнал «Программные продукты и системы», Тверь, №3, 2015 г.

Источник: http://i-intellect.ru/articles/800/

Распределение гиперболическое — Энциклопедия по экономике

§ Id. Гиперболические распределения и процессы:  1. В 1977 году О. Барндорфф-Нильсен (О. Barndorff-Nielsen) ввел,
генеральной совокупности, которая хорошо описывается логнормальным распределением.
 [c.206]
По данным из таблицы 3.2 можно построить график зависимости числа асинхронных двигателей от их мощности N = f (PH), который изображен на рисунке 3.1.

Из графика следует, что распределение асинхронных двигателей по мощности является гиперболическим. С увеличением мощности асинхронных двигателей их количество на предприятии уменьшается, так как в большинстве случаев имеет место тенденция, что на любом предприятии число
 [c.81]

По данным из таблицы 3.

3 также можно построить график зависимости числа отдельных единиц электрооборудования от их вида, если все виды электрооборудования расположить по убыванию их количества в системе электроснабжения предприятия. График изображен на рисунке 3.2. Из графика видно, что полученное распределение также является гиперболическим.

Одних единиц электрооборудования очень много (например, асинхронные двигатели, комплектные распределительные устройства КРУ напряжением 6 кВ в РТП или синхронные двигатели). Другие виды электрооборудования используются в системе электроснабжения в небольших количествах.

Объясняется это тем, что на любом предприятии система электроснабжения имеет древовидную разветвленную структуру. На верхних уровнях электроснабжения электрооборудования мало (вводные выключатели 110 кВ и трансформаторы 110/6/6 кВ).

По мере снижения уровня электроснабжения увеличивается количество параллельных ветвей, в результате чего происходит увеличение числа различных единиц электрооборудования. Наибольшее количество электрооборудования, как правило, устанавливается в электрических сетях напряжением 0,4 кВ.
 [c.82]

На рисунках 3.1 и 3.2 изображены графики распределения электрооборудования по двум признакам — по мощности и по назначению, которые были построены на основании выборок из полного перечня электрооборудования, используемого в типовой схеме электроснабжения крупного предприятия.

Аналогичным образом можно построить графики распределения электрооборудования и по другим признакам, например, по напряжению, по стоимости, по затратам на техническое обслуживание и ремонт и т.д. Все вновь полученные распределения также относятся к гиперболическим или Н-распределениям.

 [c.84]

Отметим, что к классу безгранично делимых относятся гиперболическое и гауссовское обратно-гауссовское распределения, рассматриваемые далее в Id.)
 [c.238]

Подчеркнем, что при каждом t распределение величины Zt = B есть смесь гауссовских распределений. По-другому можно сказать, что распределение величин Zt является условно-гауссовским. Эти распределения уже рассматривались выше (см. ld, 3a в гл. II).

Далее, в ld, будут рассмотрены другие модели, основанные на «гиперболических» распределениях, которые также являются условно-гауссовскими и относятся к классу безгранично делимых распределений, не будучи устойчивыми.

Все это говорит о том, что поиски «правильного» описания эволюции цен финансовых индексов идут, в некотором смысле, в направлении обращения к условно-гауссовским распределениям и процессам.
 [c.260]

Id. Гиперболические распределения и процессы
 [c.261]

Обобщенные гиперболические распределения, не будучи устойчивыми, характеризуются, также как и устойчивые, четырьмя параметрами, имеющими (см. п. 2) сходный смысл.
 [c.262]

В определении (2) предполагается, что четыре параметра (a,/3,fj,,5), определяющие гиперболическое распределение, таковы, что
 [c.262]

Для описания гиперболического распределения часто используют другую параметризацию, полагая
 [c.263]

В работах [21]-[23], [25], [26] отмечается, что гиперболическое распределение является смесью гауссовских если случайная величина X имеет плотность hi (х а, /3, ц, 8), то
 [c.265]

Гиперболическое распределение (с плотностью hi(x)) устроено проше, нежели гауссовское обратно-гауссовское (GIG-) распределение с плотностью д(х). Есть, однако, одно принципиальное обстоятельство, отдающее (по некоторым свойствам) предпочтение второму из этих распределений. Дело в следующем.
 [c.267]

Если же X имеет гиперболическое распределение, то, беря для простоты /3 = fJ, — О, находим, что
 [c.267]

Важно отметить, что оба распределения, GIG- и гиперболическое, являются безгранично делимыми. Для GIG-распределения это видно непосредственно из (18), а для гиперболического это отмечено в работах [21]-[23], [25], [26] Из (18) находим также простые выражения для среднего ЕУ и дисперсии DY  [c.267]

По поводу других финансовых показателей сошлемся на работу [127], где проводится детальный статистический анализ финансовых показателей десяти крупнейших немецких компаний и балков и делается вывод, что гиперболическое распределение исключительно хорошо действует в центральной области.
 [c.408]

В Id, гл. III, мы дали подробное описание этого класса гиперболических распределений, который вместе с классом устойчивых образует достаточно богатый арсенал теоретических распределений.

Поскольку и гиперболические, и устойчивые распределения описываются четырьмя параметрами, то можно надеяться, что варьированием этих параметров можно добиваться хорошего согласия теории и эксперимента.

 [c.408]

Многие модели управляемых систем основаны на аппарате дифференциальных уравнений как в обыкновенных, так и в частных производных. При исследовании систем с распределенными параметрами, в зависимости от вида используемых дифференциальных уравнений в частных производных, выделяют такие типы задач оптимального управления, как параболические, эллиптические или гиперболические.
 [c.199]

На рис.2 представлены распределение этой же статистики при дискретности наблюдений 1 день, и аппроксимация его нормальным распределением и гипергеометрическим.

Как легко заметить, эмпирическое распределение в первом случае совпадает с нормальным, но с введением дискретности и увеличением интервала наблюдения качество аппроксимации нормальным распределением ухудшается. Для улучшения аппроксимации было разработано и продолжает разрабатываться большое число моделей.

Проводимые нами исследования эволюции финансовых индексов показали, что в качестве базовой модели удобно использовать гиперболическое распределение [2J, плотность которого описывается уравнением  [c.135]

Разработка способов и алгоритмов управления замкнутыми системами с подвижным воздействием — актуальная проблема как в теоретическом плане, так и в связи с многочисленными приложениями. [1-4].

В работах, посвященных проблемам подвижного управления в сосредоточенных и распределенных системах, рассмотрены в основном задачи программного, в том числе оптимального, подвижного управления линейными системами с распределенными параметрами.

При этом большинство работ посвящено исследованию систем, описываемых уравнениями гиперболического типа, теплопроводности, диффузии.

В связи с развитием в настоящее время геометрической теории управления [5] представляет интерес выявление структур подвижного управления в возможно более широком классе сосредоточенных и распределенных систем, в том числе нелинейных.
 [c.5]

Для анализа структуры установленного и ремонтируемого оборудования, согласно данной методике, составляется по картотеке поступившего в ремонт оборудования полный перечень штук-особей электрооборудования. Каждая особь относится к тому или другому виду (типоразмеру, модели, марке).

Таким образом, получается перечень видов ремонтируемого электрооборудования за месяц, квартал, год, что обеспечивает возможность построения гиперболического видового Н-распределения централизованно ремонтируемого электрооборудования. Аналогично анализируется установленное электрооборудование.

Виды, каждый из которых представлен равным количеством особей, образуют группы 5 — 10 % видов являются для любого промышленного предприятия массовыми — они охватывают 40 — 60 % общего количества установленных (ремонтируемых) особей 40 — 60 % всех видов относится к уникальным и охватывают лишь 5 — 10 % общего числа особей.

Эти количественные показатели отражают положение с электроремонтом на предприятии и границы возможного повышения его эффективности.
 [c.141]

ПОЯСА ДАЛЬНОСТИ (грузовых перевозок) (length of haul zones) — интервалы распределения отправок по расстоянию перевозки Вариационный ряд строится на основе прогрессивно возрастающих интервалов, частично соответствующих тарифным поясам Распределение перевозок по П д чаще всего может быть аппроксимировано гиперболической зависимостью На железных дорогах России большинство грузов перевозится на сравнительно короткое расстояние (на расстояние свыше 3 тыс км в 80-е гг перевозилось немногим более 7% грузов, вместе с тем доля дальних перевозок по сравнению с 1940-ми гг возросла более чем в 3 раза) Распределе-
 [c.194]

В 1977 году О. Барндорфф-Нильсен (О. Barndorff-Nielsen) ввел, [21], интересный во многих отношениях класс распределений — так называемые обобщенные гиперболические распределения.

Введение этих распределений мотивировалось целью дать адекватное объяснение некоторым эмпирическим закономерностям в геологии впоследствии эти распределения нашли свое применение в геоморфологии, теории турбулентности,. . .

, а также и в финансовой математике.
 [c.261]

Из (8) видно, что если случайная величина X имеет плотность Л2(я < >, 7, А, 5), то величина У = (J — а)/6 для а 6 К, 6 > 0 имеет плотность /i2 (ж bif>, bj, S/b, (fj, — а)/б). Тем самым, гиперболическое распределение инвариантно относительно сдвига иизменения масштаба.
 [c.263]

Отсюда видно, что указанное выше свойство замкнутости GIG-pa npe-деления для гиперболического распределения отсутствует.
 [c.267]

Коль скоро гипербо лическое распределение является безгранично делимым, то можно определить процесс Леви, т. е. процесс с однородными независимыми приращениями, у которого распределения приращений являются гиперболическими.
 [c.268]

В этих работах отмечается, что вытянутость и тяжелые хвосты плотности распределения возникают, например, в моделях AR H, GAR H (см. п. 6, Зс, гл.

II), при рассмотрении см ее ей нормальных распределений. (В этой связи см. Id в гл.

III, где объясняется, как, например, гиперболические распределения могут быть получены в результате смешивания нормальных распределений с разными дисперсиями.)
 [c.400]

Замечание 3. Отправляясь от уравнений для P(t,Т), авторы работы [128] Э. Эберлейн и С. Рэйбл исследовали структуру форвардных и процентных ставок f(t, Т) и r(t), а также провели детальное рассмотрение гиперболического процесса Леей, т.е. процесса Леви, для которого случайная величина L имеет гиперболическое распределение (см. Id, гл. III).
 [c.408]

Источник: https://economy-ru.info/info/74130/

Studio-pravo
Добавить комментарий